বৃত্ত

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ

১।

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

যেখানে,

$(h, k)$ কেন্দ্র এবং
$r =$ ব্যাসার্ধ

২।

x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0

যেখানে,

$(- g, - f)$ কেন্দ্র এবং
$\sqrt{g^{2} + f^{2} - c} =$ ব্যাসার্ধ

মনে রেখো

বৃত্তের সমীকরণ হতে হলে,

$x^{2}$ ও $y^{2}$ এর সাথে কোন সহগ থাকা যাবে না।
$x y$ জাতীয় কোন পদ থাকা যাবে না।

Tip

সমীকরণ দেওয়া থাকলে কেন্দ্র বের করার জন্য $x$ ও $y$ এর সহগকে $2$ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

1. বৃত্তটি অক্ষদ্বয়কে বা যে কোন একটি অক্ষকে স্পর্শ করে।

$X$ -অক্ষকে স্পর্শ করলে,

স্পর্শবিন্দুর কোটি শুন্য, অর্থাৎ $y = 0$
$g^{2} = c$
ব্যাসার্ধ $= |$ কেন্দ্রের কোটি $|$

$Y$ -অক্ষকে স্পর্শ করলে,

স্পর্শবিন্দুর কোটি শুন্য, অর্থাৎ $x = 0$
$f^{2} = c$
ব্যাসার্ধ $= |$ কেন্দ্রের ভুজ $|$

উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে,

$g^{2} = f^{2} = c$
ব্যাসার্ধ $= |$ কেন্দ্রের ভুজ $| = |$ কেন্দ্রের কোটি $|$

2. পরামিতিক বৃত্তের সমীকরণ

পরামিতিক বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হচ্ছে

\begin{array}{r} x = a \cos θ + b \\ y = a \sin θ + c \end{array}

কেন্দ্র মূল বিন্দুতে হলে,

\begin{array}{r} x = a \cos θ \\ y = a \sin θ \end{array}

Example Problem

$x = 3 \cos θ + 1, y = 2 + 3 \sin θ$ , সমীকরণ কি নিদেশ করে? এটি যদি বৃত্ত হয় তবে এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বের কর।

Solve:
$x = 3 \cos θ + 1 \Rightarrow (x - 1) = 3 \cos θ$ ............... (i)
$\Rightarrow y = 3 \sin θ + 2 \Rightarrow (y - 2) = 3 \sin θ$ ............... (ii)
(i) $^{2}$ + (ii) $^{2}$ $\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \cos^{2} θ + 9 \sin^{2} θ$
$\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}$ একটি বৃত্তের সমীকরণ এর কেন্দ্র $(1, 2)$ এবং ব্যাসার্ধ $= 3$ একক।

4. বিভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্ত যার কেন্দ্র ভিন্ন কিছুর উপর অবস্থিত

এমন অঙ্কে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ধরে নিয়ে ওই বিন্দুগুলো দিয়ে সেটাকে সিদ্ধ করতে হবে। এর ফলে নতুন যে সমীকরণ গুলো পাওয়া যাবে সেগুলো সমাধান করলেই আন্সার পাওয়া যাবে।

Example Problem

একটি বৃত্ত $(3, 5)$ ও $(6, 4)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে যার কেন্দ্র $(i) x + 2 y - 10 = 0$ সরলরেখা দিয়ে যায়।
$(i i)$ $x$ অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ বের কর।

Solve:
ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ: $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$
$(3, 5)$ বিন্দুগামী: $3^{2} + 5^{2} + 2 g .3 + 2 f .5 + c = 0 \Rightarrow 6 g + 10 f + 34 + c = 0$ ......(1)
$(6, 4)$ বিন্দুগামী: $6^{2} + 4^{2} + 2 g .6 + 2 f .4 + c = 0$ , $12 g + 8 f + 52 + c = 0$ ......(2)
(i) কেন্দ্র $(- g, - f), x + 2 y - 10 = 0$ রেখার উপরঃ $- g - 2 f - 10 = 0 \Rightarrow g + 2 f + 10 = 0$ ......(3)
Solving (1), (2), (3) we get, $g = - 4$ , $f = - 3$ , $c = 20$
$∴$ নির্ণেয় বৃত্তঃ $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 20 = 0$ (Ans.)
(ii) কেন্দ্র $x$ অক্ষের উপর $∴ f = 0$
$∴$ (1) ও (2) নং এ $f$ এর মান বসিয়ে, $6 g + c + 34 = 0$ ; $12 g + c + 52 = 0 \Rightarrow g = - 3$ , $c = - 16$
$∴$ বৃত্তের সমীকরণঃ $x^{2} + y^{2} - 6 x - 16 = 0$ (Ans.)

5. অক্ষদ্বয় হতে ছেদকৃত অংশ সংক্রান্ত

$X$ - অক্ষ থেকে ছেদকৃত অংশ = $2 \sqrt{g^{2} - c}$
$Y$ - অক্ষ থেকে ছেদকৃত অংশ = $2 \sqrt{f^{2} - c}$
$x$ অক্ষ হতে ' $m$ ' এবং $y$ অক্ষ হতে ' $n$ ' অংশ কর্তন করে এবং মূলবিন্দু দিয়ে গেলে-
General formula:
AB ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ
$(x - m) (x - 0) + (y - 0) (y - n) = 0$
$\Rightarrow x^{2} + y^{2} - m x - n y = 0$

বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী হলে, $c = 0$

6. দুইটি বিন্দুর সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ

$(x_{1}$ , $y_{1}$ ) এবং $(x_{2}$ , $y_{2}$ ) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণঃ

(x - x_{1}) (x - x_{2}) + (y - y_{1}) (y - y_{2}) = 0

7. নির্দিষ্ট বিন্দু, বৃত্ত ও রেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় সংক্রান্ত

$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ বৃত্ত এবং $a x + b y + c_{1} = 0$ রেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

(x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c) + k (a x + b y + c_{1}) = 0

যেখানে, $k$ একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক; $k \neq 0$

একইভাবে,
$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ বৃত্ত এবং ${x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + 2 g_{1} x_{1} + 2 f_{1} y_{1} + c_{1} = 0$ বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

(x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c) + k ({x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + 2 g_{1} x_{1} + 2 f_{1} y_{1} + c_{1}) = 0

যেখানে, $k$ একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক; $k \neq 0$

8. বৃত্তের সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান

(i) $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থান করলে,

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2 g x_{1} + 2 f y_{1} + c > 0

(ii) $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুটি বৃত্তের উপরে অবস্থান করলে,

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2 g x_{1} + 2 f y_{1} + c = 0

(iii) $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থান করলে,

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2 g x_{1} + 2 f y_{1} + c < 0

9. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত

(i) যদি $C_{1}$ এবং $C_{2}$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_{1}$ এবং $r_{2}$ হয় তবে বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অভ্যন্তরভাবে স্পর্শ করবে যদি, $C_{1} C_{2} = r_{1} \sim r_{2}$ হয় । যেখানে, $C_{1} C_{2}$ হলো কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ।

(ii) বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শভাবে স্পর্শ করবে যদি $C_{1} C_{2} = r_{1} + r_{2}$ হয় ।

(iii) বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ করবে যদি, $r_{1} \sim r_{2} < C_{1} C_{2} < r_{1} + r_{2}$ হয় ।

(iv) বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ করবে না যদি, $C_{1} C_{2} > r_{1} + r_{2}$ অথবা $C_{1} C_{2} < r_{1} \sim r_{2}$ হয় ।

(v) একটি বৃত্ত অপরটির ভেতরে হলে,

\begin{array}{r} C_{1} C_{2} + r_{2} < r_{1} \\ ∴ C_{1} C_{2} < (r_{1} \sim r_{2}) \end{array}

10. বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় সংক্রান্ত

স্পর্শক কী?
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক হলো এমন একটি সরলরেখা, যা বৃত্তটিকে ঠিক একটিমাত্র বিন্দুতে (স্পর্শবিন্দু) স্পর্শ করে যায়। এই স্পর্শকটি স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর সর্বদা লম্ব। বৃত্তের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবল একটিই স্পর্শক আঁকা সম্ভব।

স্পর্শকের শর্ত:
$y = m x + c$ সরলরেখা $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ এর উপর স্পর্শক হবে যদি, $C = \pm a \sqrt{1 + m^{2}}$ হয়,
∴ স্পর্শকের সমীকরণ:

y = m x \pm a \sqrt{1 + m^{2}}

(i) $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ বৃত্তের উপরিস্থিত $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ: $$xx_1 + yy_1 = a^2$$

(ii) $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ বৃত্তের উপরিস্থিত $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ: $$xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$$

অভিলম্ব কী?
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব (Normal) সর্বদা ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ বরাবর কাজ করে এবং বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে। এটি ওই বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ওপর লম্ব (৯০°)।

(iii) $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ বৃত্তের $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, $$x_1y - y_1x = 0$$

(iv) $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ বৃত্তের $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, $$(y_1 + f)x - (x_1 + g)y + gy_1 - fx_1 = 0$$